Determinazione degli effetti della gravità per modelli digitali del terreno

Aim of this paper is the computation of the gravitational potential, of the gravity force and of its variation for elements of a digital terrain model. The distribution of the attracting terrestrial masses is partitioned into constant density “finite elements” with gravitational effects which can be analytically evaluated. Specificallyj prismatic and polyhedral modelling of a digital terrain model has been addressed with special emphasis to the singularities identification for computing the potential. The paper belongs to a more general research theme, currently in progress, in which the adopted methodology is based on the application of the Gauss theorem; actually, it represents the fundamental theoretical method for evaluating the gravitational effects analytically as function of the co-ordinates of the vertices belonging to the boundary of the attracting mass. The efficiency of the proposed formulas lies in the capacity of correctly evaluating the singularities when the attracted points occupy the vertices of the attracting mass, the extensions of the boundary edges and, finally, the faces of the DTM elements. The formulas have been implemented in a Matlab code by means of which the gravitational has been computed at a generic point P, attracted by a terrestrial mass represented by the DTM of the Cassino municipality, discretized by a grid 20 m x 20 m on an area of 10 km x 10 km. The attracted point for which the potential effects have been computed has been set outside the DTM or inside it; in some cases the point is coincident with a boundary vertex, set up at different quotes, in other cases the point has been identified along a side or outside but in alignment with it. Every test computes the potential, its vertical gradient and its second derivate relative to attracting masses constituted from all prisms built up on the 250000 points of the DTM. Numerical tests have shown that the prismatic and polyhedral modelling exhibited negligible differences.

Obiettivo di questo lavoro è il calcolo del potenziale della gravità terrestre, della forza di gravità e della sua variazione su elementi di un modello digitale del terreno. La distribuzione delle masse terrestri attraenti viene divisa in “elementi finiti” di densità costante i cui effetti gravitazionali possono essere valutati analiticamente. In particolare viene approfondito lo studio della modellazione prismatica e poliedrica di un modello digitale di terreno fornendo, altresì, un contributo alla identificazione delle singolarità nel calcolo del potenziale. Il lavoro si inserisce in un filone di ricerca più generale, tuttora in itinere, e la metodologia utilizzata si basa sull’applicazione del teorema di Gauss, in quanto esso rappresenta lo strumento teorico fondamentale per valutare in forma analitica gli effetti gravitazionali attraverso formule espresse unicamente in funzione delle coordinate dei vertici della frontiera della massa attraente. L’efficienza delle formule proposte risiede nella capacità di valutare correttamente le singolarità che si presentano nei casi in cui i punti attratti occupano i vertici della massa attraente, i prolungamenti dei lati della frontiera e, infine, le facce degli elementi del DTM. Le formule sono state implementate in un codice Matlab con il quale viene calcolato il potenziale gravitazionale in un generico punto P attratto da una massa terrestre rappresentata da un DTM del comune di Cassino, caratterizzato da un grigliato di 20 m x 20 m che ricopre un’area di 10 km x 10 km. Il punto attratto, in cui sono stati calcolati gli effetti del potenziale, è stato posizionato ora all’esterno del DTM ora al centro di esso; in vari casi esso è stato fatto coincidere con un vertice della frontiera, a varie quote; in altri casi il punto è stato posizionato lungo un lato o all’esterno ma in allineamento con esso. Ogni test calcola il potenziale, il suo gradiente verticale e la sua derivata seconda rispetto a masse attraenti rappresentate da tutti i prismi che si formano sui 250000 punti che costituiscono il DTM in esame. Dai risultati ottenuti la differenza tra le due modellazioni prismatica e poliedrica è risultata trascurabile.